Pregunta sobre vectores.

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Pregunta sobre vectores.

Mensaje  Cristian el Miér Mar 26, 2008 4:40 pm

Hay un ejercico que no entiendo mucho, dice asi:

la recta 2x+3y-6=0 determina al cortar los ejes de cordenadas, un segmento AB. Halla la ecuacion de la mediatriz de AB.


Como se haria??

Cristian
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Re: Pregunta sobre vectores.

Mensaje  Manuel el Miér Mar 26, 2008 6:27 pm

Hola.

Aunque sea hacer un poco de trampa, comencemos por ver una representación gráfica de esa recta, y qué puntos son los de corte con los ejes:



He llamado A al corte con el eje y, B al corte con el eje X. El segmento que nos dicen es el trozo de la recta que va desde A hasta B.

Lo primero que tenemos que hacer es determinar las coordenadas de esos dos puntos.

1) Para determinar el punto A, debemos cortar la recta 2x+3y-6=0 con el eje x=0. Sustityendo x=0 en la ecuación de la recta, tenemos 3y - 6 = 0 , es decir y = 6/3 = 2. Por lo tanto el punto A tiene coordenadas x=0, y=2, o lo que es lo mismo A = (0,2).

2) Para el punto B es lo mismo, cortando 2x+3y-6=0 con el eje y=0. Sustituyendo y=0 nos queda 2x-6=0, por tanto x = 6/2 = 3. El punto B = (3,0).

Ahora que tenemos estos dos puntos, tenemos que calcular la mediatriz de AB. La mediatriz es la recta que es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio. Tenemos que hacer dos cosas, por tanto: 1) Calcular ese punto medio. 2) Calcular la recta que pasa por ese punto medio y es perpendicular al segmento. Vayamos por pasos.

1) El punto medio de A y B es, por decirlo así, la media de las coordenadas de los dos puntos. Es decir, M = A+B / 2. Esto es un cálculo extremadamente fácil:

A + B = (0,2) + (3,0) = (3,2). Entonces M = A+B / 2 = (3/2 , 1)

2) Ahora tenemos que conseguir la recta que tiene una dirección perpendicular a 3x+2y=6 y que pasa por M = (3/2, 1). El vector perpendicular a una recta está dado por los coeficientes de su ecuación. Si tienes la recta 3x+2y=6, su vector perpendicular es v = (3,2).

Por lo tanto, el problema se reduce a encontrar la recta que tiene el vector dirección v = (3,2) y que pasa por el punto M = (3/2,1). La forma paramétrica de esta recta es ahora muy fácil de sacar:

La recta está dada por M + t.v = (3/2,1) + t.(3,2) = (3/2 + 3t , 1 + 2t). Es decir, la forma paramétrica es:

x = 3/2 + 3t
y = 1 + 2t

Si ahora despejamos la t e igualamos, obtenemos la ecuación de la recta que nos piden.

x = 3/2 + 3t --> x - 3/2 = 3t --> x/3 - 1/2 = t

y = 1 + 2t --> y - 1 = 2t --> y/2 - 1/2 = t

Igualando, tenemos:

x/3 - 1/2 = y/2 - 1/2

Si pasamos a común denominador y eliminamos todas las fracciones, nos queda:

2x - 3 = 3y - 3

Agrupando:

2x - 3y = 0

Esta es la recta mediatriz que nos estaban pidiendo. Voy a representarla para que se vea que de hecho parte en dos al segmento AB:



En el gráfico la mediatriz está representada en verde.

Como no sé de qué manera estás haciendo los cálculos, es posible que alguno de los pasos que he dado no te resulten muy familiares. No tengas problemas a la hora de preguntar si algo no te parece claro.

Saludos.

Manuel
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Re: Pregunta sobre vectores.

Mensaje  Cristian el Miér Mar 26, 2008 6:45 pm

muxisimas gracias lo he entendido a la perfeccion^^

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